(x-1)(x^2-1)(x^3-1)=(x-1)^3(x+1)(x^2-x+1)
из формулы a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b++ab^(n-2)+b^(n-1)) (*)
верной для любых a иb, натуральных n
получаем
что x^n-1 и x^(n-1)-1 и x^(n-2)-1 делятся на х-1, а значит их произведение делится на (x-1)^3
из трех идущих подряд натуральных чисел n-2, n-1, n хотя бы одно число четное(делится на 2) а значит один из этих трех множителей по той же формуле (*) делится на (x^2-1)=(x-1)(x+1) а значит и на (x+1)
из трех идущих подряд натуральных чисел n-2, n-1, n хотя бы одно число делится на 3 а значит один из этих трех множителей по той же формуле (*) делится на (x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1) а значит и на (x^2+x+1)
а значит и произведение делится на
(x-1)^3(x+1)(x^2-x+1)=(x-1)(x^2-1)(x^3-1)
доказано.
p.s.заметим что a^(kn)-b^(kn) делится без остатка на a^k-b^k
1) 2а(х+ у) + х + у = 2ах + 2ау + х + у = (2ах + х) + (2ау + у) = х(2а + 1) + у(2а + 1) = (х+ у) · (2а + 1)
2) 5х(а + b) - a - b = 5ax + 5bx - a - b = (5ax - a) + (5bx - b) = a(5x - 1) + b(5x - 1) = (a +b) · (5x - 1)
3) 3m(x + y) - x - y = 3mx + 3my - x - y = (3mx - x) + (3my - y) = x(3m - 1) + y(3m - 1) = (x + y) · (3m - 1)
4) x(a - b) + a - b = ax - bx +a - b = (ax + a) - (bx + b) = a(x + 1) - b(x +1) = (a - b) · (x +1)
5) 4y(k - p) - k + p = 4ky - 4py - k + p = (4ky - k) - (4py - p) = k(4y - 1) - p(4y - 1) = (k - p) · (4y - 1)
6)2a(x - y) - x + y = 2ax - 2ay - x + y = (2ax - x) - (2ay - y) = x(2a - 1) - y(2a - 1) = (x - y) · (2a - 1)
